1000 Antworten Was genau ist eine binomische Formel?

Dauer

Binomische Formel heißt ja z. B. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Theoretisch formuliert heißt das: Von höherer Warte ist das ein Formel, die die Multiplikation und die Addition in einer ganz spannenden Weise verbindet, die z. B. Multiplikation auf Addition zurückführt oder umgekehrt. (a + b)2 heißt ja (a + b) mal (a + b).

Ich habe ja eine große Zahl, die aus zwei Summanden zusammengesetzt ist: (a + b) und ich multipliziere die mit sich selbst. Das ist die linke Seite. Auf der rechten Seite steht eine Summe. Also auf der linken Seite steht an oberster Stelle ein Produkt, auf der rechten Seite steht an oberster Stelle eine Summe aus a2 und 2ab und b2 – und das kann man in beide Richtungen lesen. Also wenn ich leicht a2 und 2ab und b2 ausrechnen kann, dann kann ich die auch leicht addieren. Und dann kriege ich die andere Seite raus und umgekehrt. Das heißt ja: manchmal kenne ich die rechte Seite, manchmal kenne ich die linke Seite und so.

Wenn ich nun so etwas ausrechnen möchte wie sagen wir 10012 – wie würde ich das machen? Das kann man sogar mündlich machen: 1001 würde ich schreiben als 1000 +1. Dann wäre das a = 1000, das b = 1 – im Quadrat. Ist vielleicht schwer auszurechnen, aber die Formel hilft mir. Die sagt mir: Das ist a2 – also 10002 – das ist 1.000.000 + 2ab – a ist 1000, b ist 1, also 2000 – plus b2, plus 1. Also: 1.002.001 kommt hier raus.

In der Arithmetik unvermeidlich

Manchmal ist es auch für ganz praktische Rechnungen wichtig, aber vor allem, wenn man mit Buchstaben manipuliert, also die eigentliche Arithmetik macht, also Formeln, Gleichungen, Therme umformt – dann sind die binomischen Formeln einfach unvermeidlich. Und wenn man quadratische Gleichungen behandelt, sind sie auch unvermeidlich. Man braucht sie nicht so zu nennen und in manchen Ländern werden sie auch nicht mal mehr formal eingeführt. Aber de facto: Überall, wo mal ein Quadrat vorkommt und ich irgendwie rechnen will, sind die binomischen Formeln unvermeidlich.

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