Wenn mein Baum in Nachbars Garten Schatten macht, kann der Nachbar verlangen, dass ich ihn fälle oder Äste abschneide?

Im Regelfall kann der Nachbar das nicht verlangen. Wo Licht ist, ist eben auch Schatten, das sagen auch die Gerichte. Schatten gilt in einer Wohngegend mit Gärten und Bäumen als ortsüblich und muss hingenommen werden.
Wenn die Beeinträchtigung durch den mangelnden Lichteinfall besonders stark ist, kann der Nachbar allenfalls verlangen, dass die überhängenden Äste beseitigt werden. Den Baum fällen muss ich nur dann, wenn der notwendige Grenzabstand nicht eingehalten ist.
In Rheinland-Pfalz liegt der bei vier Metern je nach Wuchskraft des Baumes. Dafür muss sich der Nachbar aber zeitig melden, denn die Ansprüche auf Beseitigung verjähren fünf Jahre, nach dem Bäume gepflanzt wurden. Also steht mein Baum schon länger, darf er bleiben. Auch in Baden-Württemberg gelten entsprechende Abstände, die beim Pflanzen eingehalten werden müssen.
Darf ich über den Zaun hängende Äste abschneiden, ohne den Nachbarn zu informieren?

Einfach so, ohne mit dem Nachbarn zu sprechen, geht das nicht. Zwar habe ich als Grundstückseigentümer ein sogenanntes Selbsthilferecht, das bedeutet, ich darf überhängende Zweige und Äste zurückschneiden, wenn mich diese bei der Nutzung meines Grundstücks stören. Also wenn zum Beispiel zu viel Laub herunter fällt. Von diesem Recht darf ich aber erst Gebrauch machen, wenn ich dem Nachbarn vorher Gelegenheit gegeben habe, sich selbst darum zu kümmern. Schließlich handelt es sich bei dem Baum um sein Eigentum, wofür er verantwortlich ist.
Also erst mal den Nachbarn nett bitten, die Äste wegzuschneiden. Wenn sich dann nach einiger Zeit nichts rührt, kann ich selbst zur Gartenschere greifen.
Was ist mit Blättern, Blumen oder Früchten, die in meinen Garten fallen? Kann ich verlangen, dass mein Nachbar sie beseitigt?

Ob Blüten, Blätter, Nadeln oder Tannenzapfen — für alles, was auf natürliche Weise in meinem Garten landet, bin ich selbst verantwortlich. Dass auch mal was aus dem Nachbargarten herüber weht, muss ich hinnehmen und selbst zur Harke reifen.
Nur in absoluten Ausnahmefällen billigen die Gerichte eine sogenannte Laubrente zu. Das bedeutet, ich kann vom Nachbarn eine Ausgleichszahlung für anfallende Reinigungsarbeiten verlangen. Anspruch darauf habe ich nur dann, wenn die Beeinträchtigung durch die Blätter erheblich über dem liegt, was in meiner Wohnumgebung üblich ist und ich mein Grundstück dadurch nur erschwert nutzen kann. Außerdem muss die Beseitigung mit einem unzumutbaren Aufwand verbunden sein.